利用统计计算而不是计算机模拟解决样本容量问题-白红宇

微信群的小伙伴提了一个有意思的问题：

然后他用 R 模拟了一下，大约 150次左右。

但是我想用统计学的方法直接计算结果。

抛硬币问题是一个典型的二项分布问题。按题目，抛 $n$ 次硬币头朝上的概率为：

当满足 $np\ge5$ 且 $n(1-p)\ge5$ 时,二项分布可以近似为 $\mu = np,\delta = \sqrt{np(1-p)}$ 的正态分布。

那么在上题中，只要抛 A 硬币的次数大于等于13次，抛 B 硬币的次数大于等于10次，那么抛硬币的二项分布就可以近似为正态分布。

硬币 A 虽然被动过手脚，但是对于不知情的人来说，硬币 A、B 头朝上的概率 $p$ 都应该是 0.5。所以对于不知情的人，多次抛掷硬币 A 或 B 的组成的样本都应该服从 $\mu = 0.5n,\delta = \sqrt{0.25n}$ 的正态分布。

同时，多次抛掷硬币 A 或 B 这一过程的结果可以视为该正态分布的一个简单随机样本。

因此，不知情的投币人如果怀疑每次抛掷 A，B 硬币头朝上的概率不同，则可以提出假设：

抛掷硬币 A,B 这两个实验的比例之差点估计量为:

$\bar{p_a}-\bar{p_b}$ 的标准误差为:

在假设 $H_0$ 为真时， $p_a = p_b = p$ , $p_a-p_b$ 的标准误差变为：

所以检验统计量

题目里要求的95%的置信度确认 A,B 不同，那么95%的置信度即要求检验统计量 $Z \le1.96$ 。解出来 $\frac{1}{n_a}+\frac{1}{n_b} \le 0.2$ 。如果要求抛掷 A,B 的次数相同，则各抛200次即可。和计算机模拟的次数相差似乎还在可接收范围内。